Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CC₁的延長線上，且CC₁=C₁E=BC=AB=1．
①求證：D₁E∥平面ACB₁；
②求證：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；
③求四面體D₁B₁AC的體積．

Answer 1

【答案】分析：①欲證D₁E∥平面ACB₁，根據線面平行的判定定理可知只需在平面ACB₁內找一直線與D₁E，連接DC₁，易證D₁E∥AB₁．因為AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，滿足定理所需條件；
②欲證平面D₁B₁E⊥平面DCB₁，根據面面垂直的判定定理可知在平面AD₁EB₁內找一直線垂直平面DCB₁，根據線面垂直的判定定理可知AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，滿足定理所需條件；
③四面體D₁B₁AC可以看作將長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁沿它的四個面B₁AC、D₁AC、D₁B₁C、D₁B₁A將四面體D₁B₁AC以外的部分割去后得到．
解答：證明：①連接DC₁，因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，且CC₁=C₁E，
所以DD₁∥C₁E且DD₁=C₁E，DD₁EC₁是平行四邊形，DC₁∥D₁E．
又因為AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，ADC₁B₁是平行四邊形，DC₁∥AB₁，
所以D₁E∥AB₁．因為AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，
所以D₁E∥平面ACB₁．
②連接AD₁、DA₁，則平面DCB₁即平面A₁B₁CD，
由①D₁E∥AB₁，知平面D₁B₁E即平面AD₁EB₁．
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，CD⊥平面ADD₁A₁，所以CD⊥AD₁．
矩形ADD₁A₁中，AD=DD₁，所以A₁D⊥AD₁，又A₁D∩CD=D，
所以AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，
所以平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD．
即平面D₁B₁E⊥平面DCB₁
解：③四面體D₁B₁AC可以看作將長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁沿它的四個面B₁AC、D₁AC、D₁B₁C、D₁B₁A將四面體D₁B₁AC以外的部分割去后得到，所以，其體積．
點評：這是深圳一模文數(shù)第18題，從中可以體會以下幾點，一是依據判定定理整體思考、形成思路；二是通過圖形變換，包括割、補、視圖和射影等，建立試題各要素之間；三是將不規(guī)則圖形向自己熟悉的規(guī)則圖形（特別是長方形）轉化，將基本空間圖形原有的性質與試題條件有機結合，將試題要素“直接（直觀）”地聯(lián)系起來或凸顯出來，使問題求解自然而然．