Question

數(shù)列{b_n}滿足：b_n+1=2b_n+2，b_n=a_n+1-a_n，且a₁=2，a₂=4，
（1）求證：數(shù)列{b_n+2}是等比數(shù)列（要指出首項與公比），
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式，
（3）求數(shù)列{na_n+2n²}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）利用b_n+1=2b_n+2，推出

bn+1+2

bn+2

=2，即可判斷數(shù)列{b_n+2}是等比數(shù)列．
（2）求出b_n，然后利用b_n=a_n+1-a_n，利用累加法即可求解數(shù)列{a_n}的通項公式，
（3）利用錯位相減法，即可求解數(shù)列{na_n+2n²}的前n項和．

解答：解：（1）由b_n+1=2b_n+2，得b_n+1+2=2（b_n+2），
∵

bn+1+2

bn+2

=2，又b₁+2=a₂-a₁+2=4，
∴數(shù)列{b_n+2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{b_n+2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
∴bn+2=4•2n-1⇒bn=2n+1-2．
∵b_n-1=a_n-a_n-1∴an-an-1=2n-2．
令n=1，2，…，（n-1），疊加得an-2=(22+23+…+2n)-2(n-1)，
∴an=(2+22+23+…+2n)-2n+2=

2(2n-1)

2-1

-2n+2=2n+1-2n．
（3）令cn=nan+2n2，則cn=n•2n+1，令前n項和為S_n，
∴Sn=1×22+2×23+3×24+4×25+…+n•2n+1，
2Sn=1×23+2×24+3×25+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2
所以兩式相減得：-S=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n2ⁿ⁺²
所以S_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4．

點評：本題考查遞推數(shù)列通項公式的求法，等比數(shù)列的判斷，超五星級法求解數(shù)列的和的方法，考查計算能力．