如題圖已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的上、下頂點分別為A、B，右焦點為F，△FAB是邊長為2的等邊三角形．
 （I）求橢圓C的方程；   
（II）設(shè)過點F的直線l交橢圓C于M、N兩點，連接MO（O為坐標(biāo)原點）并延長交橢圓C于點P，求△PMN的面積S△PMN的最大值．
分析：（Ⅰ）利用已知及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)即可得出；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：b=1，a=2．
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）由橢圓的對稱性可知：點M、P關(guān)于點O中心對稱，∴S△PMN=2S△OMN．
由（Ⅰ）可知：c=
22-12
=
3
，∴F(
3
，0)．
設(shè)直線l的方程為：x=my+
3
，聯(lián)立得
x=my+
3
x2+4y2=4
，消去x得到(4+m2)y2+2
3
my-1=0，
∴y1+y2=
-2
3
m
4+m2
，y1y2=
-1
4+m2
．
∴|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
4
m2+1
m2+4
．
∴S△OMN=
1
2
|OF| |y1-y2|=
1
2
×
3
×
4
m2+1
m2+4
．
設(shè)t=
m2+1
∈[1，+∞)，則S△OMN=
2
3
t
t2+3
=
2
3
t+
3
t
≤
2
3
2
t×
3
t
=1，當(dāng)且僅當(dāng)t=
3
時取等號．
∴S△PMN≤2，即△PMN的面積的最大值為2．
點評：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線 x+y+
2
=0相切．A、B是橢圓的左右頂點，直線l 過B點且與x軸垂直，如圖．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)G是橢圓上異于A、B的任意一點，GH丄x軸，H為垂足，延長HG到點Q 使得HG=GQ，連接AQ并延長交直線l于點M，點N為MB的中點，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如題圖已知橢圓C：數(shù)學(xué)公式的上、下頂點分別為A、B，右焦點為F，△FAB是邊長為2的等邊三角形．
（I）求橢圓C的方程；　
（II）設(shè)過點F的直線l交橢圓C于M、N兩點，連接MO（O為坐標(biāo)原點）并延長交橢圓C于點P，求△PMN的面積S△PMN的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,已知橢圓C：(m＞0)，經(jīng)過其右焦點F且以a=（1,1)為方向向量的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓C于N點．

（1）求證：;

（2）求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年重慶市南開中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如題圖已知橢圓C：的上、下頂點分別為A、B，右焦點為F，△FAB是邊長為2的等邊三角形．
 （I）求橢圓C的方程；   
（II）設(shè)過點F的直線l交橢圓C于M、N兩點，連接MO（O為坐標(biāo)原點）并延長交橢圓C于點P，求△PMN的面積S△PMN的最大值．

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