【題目】已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,離心率為 ,左焦點到左頂點的距離為1.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過點M(1,1)的直線與橢圓C相交于A,B兩點,且點M為弦AB中點,求直線AB的方程.

【答案】
(1)解:設橢圓C的方程為 =1(a>b>0),半焦距為c.

依題意e= ,

由左焦點到左頂點的距離為1,得a﹣c=1.

解得c=1,a=2.∴b2=a2﹣c2=3.

所以橢圓C的標準方程是


(2)解:設A(x1,y1),B(x2,y2),

∵點M(1,1)為弦AB中點,∴ ,

把A(x1,y1),B(x2,y2)代入橢圓C的標準方程

得: ,∴3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0,

∴6(x1﹣x2)+8(y1﹣y2)=0,

∴k= =﹣ ,

∴直線AB的方程為y﹣1=﹣ (x﹣1),整理,得:3x+4y﹣7=0.

∴直線AB的方程為:3x+4y﹣7=0


【解析】(1)由橢圓離心率為 ,左焦點到左頂點的距離為1,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的標準方程.(2)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),由點M(1,1)為弦AB中點,利用點差法能求出直線AB的方程.
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:即可以解答此題.

練習冊系列答案
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