Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a_2n-1=2n，S_n為數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和，設(shè)f（n）=S_2n-S_n，
（1）比較f（n）與f（n+1）的大��； 
（2）若g（x）=log₂x-12f（n）＜0，在x∈[a，b]且對(duì)任意n＞1，n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)a，b滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）由條件求出a₁ =1，a₂=2，可得a_n=n．化簡(jiǎn)f（n+1）-f（n）=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，可得f（n+1）＞f（n）．
（2）由上知：{ f（n）}為遞增數(shù)列，必需 log₂x＜12 f（2）成立，求出f（2）=

7

12

，可得log₂x＜7，求得0＜x＜128，
由此確定實(shí)數(shù)a，b滿足的條件．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a_2n-1=2n，令n=1可得 a₁ =1，再令n=2可得a₂=2，故 a_n=n．
f（n+1）-f（n）=S_2（n+1）-S_n+1-[S_2n-S_n]=S_2（n+1）-S_2n-（S_n+1-S_n）
=a_2n+2+a_2n+1-a_n+1=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
∴f（n+1）＞f（n）．（6分）
（2）由上知：{ f（n）}為遞增數(shù)列，必需 log₂x＜12 f（2）成立．（8分）
∵f（2）=S₄-S₂=

7

12

，∴l(xiāng)og₂x＜7，
∴0＜x＜128，∴0＜a＜b＜128．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，數(shù)列與函數(shù)的綜合，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．