Question

設函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ae^-x-a，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，證明f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；
（Ⅱ）若x∈[0，+∞），f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數(shù)，當a=1時，可得，構造西紅柿g（x）=e^x-1-x，確定g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，從而可得x∈（0，+∞）時，g（x）＞g（0）=0，由此可得x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，得證；
（2）由于函數(shù)的最值不好確定，故進行適當?shù)姆趴s，考慮，從而當1-a≥0，即a≤1時，對?x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0；當a＞1時，可得時，f（x）＜f（0）=0，從而可得a的取值范圍．
解答：解：（1），
當a=1時，，---------（2分）
令g（x）=e^x-1-x，則g′（x）=e^x-1，
當x∈（0，+∞）時，g′（x）=e^x-1＞0，所以g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
因此x∈（0，+∞）時，g（x）＞g（0）=0，所以當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)．---------（6分）
（2）由，
由（1）知，e^x≥1+x，當且僅當x=0等號成立．
故，
從而當1-a≥0，即a≤1時，對x∈[0，+∞），f′（x）≥0，
于是對?x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0．
由e^x＞1+x（x≠0），得e^-x＞1-x（x≠0），
從而當a＞1時，=
故當時，f′（x）＜0，
于是當時，f（x）＜f（0）=0，
綜上，a的取值范圍是（-∞，1]．---------（12分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，正確求導是關鍵．