【題目】已知是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)的定義域都是.

(1)求函數(shù)在點處的切線方程;

(2)判斷函數(shù)零點個數(shù);

(3)用表示的最小值,設,,若函數(shù)上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1);(2)函數(shù)只有一個零點;(3).

【解析】

(1)先求導數(shù),代入為直線的斜率,利用點斜式可求直線方程;

(2)先求導數(shù),結(jié)合導數(shù)的符號,判定零點的個數(shù);

(3)為增函數(shù),轉(zhuǎn)化為恒成立,然后利用分離參數(shù)法求解.

(1)∵,∴切線的斜率,.

∴函數(shù)在點處的切線方程為.

(2)∵,,∴,,,

存在零點,且.∵,

∴當時,;當時,由

.∴上是減函數(shù).

∴若,,,則.∴函數(shù)只有一個零點,且.

(3)解:,故,

∵函數(shù)只有一個零點,∴,即.∴.

為增函數(shù),恒成立.

,即在區(qū)間上恒成立.

,只需,

單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

的最小值.

時,,由上述得,則恒成立.

綜上述,實數(shù)的取值范圍是.

練習冊系列答案
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參考數(shù)據(jù):,,

A.B.C.D.

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1)求這500名患者潛伏期的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),并計算出這500名患者中“長潛伏者”的人數(shù);

2)為研究潛伏期與患者年齡的關系,以潛伏期是否高于平均數(shù)為標準進行分層抽樣,從上述500名患者中抽取300人,得到如下列聯(lián)表,請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認為潛伏期長短與患者年齡有關;

短潛伏者

長潛伏者

合計

60歲及以上

90

60歲以下

140

合計

300

3)研究發(fā)現(xiàn),某藥物對新冠病毒有一定的抑制作用,需要在抽取的300人中分層選取760歲以下的患者做Ⅰ期臨床試驗,再從選取的7人中隨機抽取兩人做Ⅱ期臨床試驗,求兩人中恰有1人為“長潛伏者”的概率.

附表及公式:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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記錄時間

累計里程

(單位:公里)

平均耗電量(單位:公里)

剩余續(xù)航里程

(單位:公里)

202011

5000

0.125

380

202012

5100

0.126

246

(注:累計里程指汽車從出廠開始累計行駛的路程,累計耗電量指汽車從出廠開始累計消耗的電量,

下面對該車在兩次記錄時間段內(nèi)行駛100公里的耗電量估計正確的是(

A.等于B.之間C.等于D.大于

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