（本小題12分）

如圖，在三棱錐中，側(cè)面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側(cè)面是正三角形．

（I）求證：；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在直線是否存在一點(diǎn)，使直線與面成角？若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．

（1）見解析（2）（3）


解析:

該幾何體可以視作從正方體中取出而得，如圖所示．因此采用補(bǔ)形的思想方法入手解答．

（I）作面于，連結(jié)，，，則四邊形是正方形，且，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．                                              1分

則，，，，

易得，                          3分

（II）設(shè)平面的法向量為，則由且

知

則可取                       5分

同理可求得平面的一個法向量為       6分

由圖可以看出，二面角的大小應(yīng)等于

則，即所求二面角的余弦值為．    8分

（III）設(shè)是線段上一點(diǎn)，則，．

易知平面的一個法向量可取，要使直線與平面成 角，則與的夾角為或，                           

所以                 10分

解得，則

故線段上存在點(diǎn)，且時，直線與平面成角     12分

練習(xí)冊系列答案
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（本小題12分）

如圖，曲線是以原點(diǎn)為中心，以、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線 是以為頂點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，是曲線和的交點(diǎn)，且為鈍角，若，．
（I）求曲線和所在的橢圓和拋物線的方程；
（II）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線、依次交于、、、四點(diǎn)（如圖），若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．

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如圖，＜＜＜…＜）是曲線C：上的n個點(diǎn)，點(diǎn)在x軸的正半軸上，且⊿是正三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)）。

（1）寫出
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（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求三棱錐的體積。

 

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如圖4：求的算法的

程序框圖。⑴標(biāo)號①處填        。標(biāo)號②處填        。⑵根據(jù)框圖用直到型（UNTIL）語句編寫程序。

 

 

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