已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+x，x∈R，如果至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f （a-x）+f （ax2-1）＜0，成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）
分析：先判斷出f（x）是增函數(shù)，且為奇函數(shù)．由已知，得出ax2-x+a-1＜0有解．考慮其否定：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有ax2-x+a-1≥0”，再求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：由f(x)=
1
3
x3+x，得f′（x）=x2+1＞0，所以f（x）是增函數(shù)，且易知為奇函數(shù)．
將f （a-x）+f （ax2-1）＜0，化為f （a-x）＜-f （ax2-1），即f （a-x）＜f （-ax2+1），得出a-x＜-ax2+1，
整理ax2-x+a-1＜0．①
由已知，不等式①有解，其否定為“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有ax2-x+a-1≥0”，此時(shí)須
a＞0
△=1-4a(a-1)≤0
，解得a≥
1+
2
2
．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，
1+
2
2
）．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式求解，函數(shù)的性質(zhì)．化抽象為具體，正難則反，間接求解．是好題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱(chēng)f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱(chēng)為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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