Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．滿足S_n=

3

2

(3n-1)，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意，依據(jù)a_n=S_n-S_n-1，即可得出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由題意b_n=n•a_n，適合用錯(cuò)位相減法轉(zhuǎn)化求和．

解答： 解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=3…（1分）
∵S_n=

3

2

(3n-1)①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=

3

2

(3n-1-1)②
①-②得an=3n，又a₁=3符合上式，…（5分）
∴an=3n…（6分）
（Ⅱ）∵b_n=n•3ⁿ．T
∴T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，③…（7分）
∴3T_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④…（8分）
③-④得-2T_n=（3+3²+3³+…+3ⁿ）-n•3ⁿ⁺¹，…（10分）
即2T_n=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

，
∴T_n=

(2n-1)3n+1

4

+

3

4

．        …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差與等比數(shù)列，由和求通項(xiàng)及錯(cuò)位相減法技巧求和，由和求通項(xiàng)時(shí)要注意驗(yàn)證n=1時(shí)的情況，這是本題的易錯(cuò)點(diǎn)．