已知直線l與函數(shù)y=x2的圖象交于A，B兩點，且線段AB與函數(shù)y=x2的圖象圍成的圖形面積為
4
3
，則線段AB的中點P的軌跡方程為
 
．
考點：軌跡方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設出直線l的方程和A，B，P的坐標，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用根與系數(shù)關系得到A，B橫坐標的和與積，再利用積分求面積得到(x2-x1)2=4．然后結(jié)合中點坐標公式及點A，B在拋物線上求得線段AB的中點P的軌跡方程．
解答： 解：設直線l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
則x=
x1+x2
2
，y=
y1+y2
2
  ①
聯(lián)立
y=kx+m
y=x2
，得：x2-kx-m=0．
則△=k2+4m＞0，且x1+x2=k，x1x2=-m  ②
不妨設x1＜x2，
由題意得：
∫
x2
x1
(kx+m-x2)dx=
4
3
，
即(x2-x1)[
k
2
(x1+x2)+m-
x12+x1x2+x22
3
]=
4
3
  ③
將②代入③化簡得：(x2-x1)3=8，即(x2-x1)2=4．
∴(x1+x2)2-4x1x2=4  ④
又∵y1=x12，y2=x22，
∴y=
y1+y2
2
=
x12+x22
2
=
4+2x1x2
2
=2+x1x2，
故x1x2=y-2，
而x1+x2=2x，代入④得y=x2+1．
故答案為：y=x2+1．
點評：本題考查軌跡方程，解答的關鍵在于靈活運用線段AB與拋物線所圍成圖形的面積，考查了定積分，體現(xiàn)了整體運算思想方法，考查學生的靈活變形和計算能力，是壓軸題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{An}滿足An+1=An2，則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{an}中，a1=2，點（an，an+1）在函數(shù)f（x）=2x2+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”；
（Ⅱ）證明數(shù)列{lg（2an+1）}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）設Tn=（2a1+1）（2a2+1）•…•（2an+1），記bn=log2an+1Tn，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求使Sn＞2014成立的n的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
x2+1，x≤1
lgx，x＞1
，則f[f（-3）]=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（-1，2），
b
=（2，x），
c
=（m，-3），且
a
∥
b
，
b
⊥
c
，則x+m=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若sin（
π
3
-α）=
1
4
，則cos（
π
6
+α）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知共焦點F1，F(xiàn)2的橢圓與雙曲線，它們的一個公共點是P，若
F1P
•
F2P
=0，橢圓的離心率e1與雙曲線的離心率e2的關系式為（　�。�
A、
1
e12
+
1
e22
=2
B、
1
e12
-
1
e22
=2
C、e12+e22=2
D、e22-e12=2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設復數(shù)z=2+ai（a∈R，i是虛數(shù)單位），則
.
z
z
（
.
z
是z的共軛復數(shù)）是純虛數(shù)的一個充分不必要條件是（　�。�
A、a=2
B、a=±2
C、a=
2
D、a=±
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，在其定義域內(nèi)又是單調(diào)函數(shù)的為（　�。�
A、y=x-1
B、y=2x
C、y=log2x
D、y=lg2x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=an2-nan+λ（n∈N*，λ∈R）．
（Ⅰ）對?n∈N*，an≥2n恒成立的充要條件為λ≥-2；
（Ⅱ）若λ=-2，證明：
1
a1-2
+
1
a2-2
+…+
1
an-2
＜2．

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