Question

已知f（x）=e^x+ax²-bx的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為（e+1）x-y-2=0，
（I）求f（x）的解析式；
（II）當(dāng)x≥0時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥

5

2

x²+（m-3）x+

1

2

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=e+1，利用直線的點(diǎn)斜式方程可求a，b
（II）f（x）≥

5

2

x²+（m-3）x+

1

2

等價(jià)于

ex

x

-

1

2

x-

1

2x

≥m，令g（x）=

ex

x

-

1

2

x-

1

2x

只需m≤g（x）min即可．

解答：解：（I）f′（x）=e^x+2ax-b，由已知，切線斜率為f′（1）=e+2a-b=e+1，①又點(diǎn)（1，f（1））在切線上，所以（e+1）-（e+a-b）-2=0，②
①②聯(lián)立解得a=2，b=3，所以f（x）=e^x+2x²-3x
（II）由（I）得：f（x）=e^x+2x²-3x
從而f（x）≥

5

2

x²+（m-3）x+

1

2

等價(jià)于

ex

x

-

1

2

x-

1

2x

≥m
令g（x）=

ex

x

-

1

2

x-

1

2x

則g′（x）=

xex-ex

x2

-

1

2

+

1

2x2

=

(x-1)(2ex-x-1)

2x2

由于（2e^x-x-1）′=2e^x-1＞0（x≥0）所以（2e^x-x-1）min=1＞0
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)1＞x≥0時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在[0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
g（x）min=g（1）=e-1，所以m≤e-1．

點(diǎn)評：題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，分離參數(shù)的方法解決恒成立問題