Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足na_n+2-（n+2）a_n=λ（n²+2n），其中a₁=1，a₂=2，若a_n＜a_n+1對?n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[0，+∞）．

Answer 1

分析 把已知遞推式變形，可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均是以λ為公差的等差數(shù)列，分類求其通項(xiàng)公式，代入a_n＜a_n+1，分離參數(shù)λ求解．

解答 解：由na_n+2-（n+2）a_n=λ（n²+2n）=λn（n+2），
得$\frac{{a}_{n+2}}{n+2}-\frac{{a}_{n}}{n}=λ$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均是以λ為公差的等差數(shù)列，
∵a₁=1，a₂=2，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{n}=1+λ（\frac{n+1}{2}-1）=\frac{n-1}{2}λ+1$，
∴${a}_{n}=\frac{{n}^{2}-n}{2}λ+n$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{n}=1+λ（\frac{n}{2}-1）=\frac{n-2}{2}λ+1$，
∴${a}_{n}=\frac{{n}^{2}-2n}{2}λ+n$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由a_n＜a_n+1，得$\frac{{n}^{2}-n}{2}λ+n$＜$\frac{（n+1）^{2}-2（n+1）}{2}λ+n+1$，
即λ（n-1）＞-2．
若n=1，λ∈R，若n＞1則λ＞$-\frac{2}{n-1}$，∴λ≥0；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由a_n＜a_n+1，得$\frac{{n}^{2}-2n}{2}λ+n$＜$\frac{（n+1）^{2}-（n+1）}{2}λ+n+1$，
即3nλ＞-2，∴λ＞$-\frac{2}{3n}$，即λ≥0．
綜上，λ的取值范圍為[0，+∞）．
故答案為：[0，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了分類求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，是中檔題．