【題目】如圖所示,某街道居委會(huì)擬在地段的居民樓正南方向的空白地段
上建一個(gè)活動(dòng)中心,其中
米.活動(dòng)中心東西走向,與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形
,上部分是以
為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)
不超過(guò)
米,其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角
滿足
.
(1)若設(shè)計(jì)米,
米,問(wèn)能否保證上述采光要求?
(2)在保證上述采光要求的前提下,如何設(shè)計(jì)與
的長(zhǎng)度,可使得活動(dòng)中心的截面面積最大?(注:計(jì)算中
取3)
【答案】(Ⅰ)能(Ⅱ)米且
米
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由條件知研究直線與圓相切,所以建立坐標(biāo)系:以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,,確定圓的方程,求出切線方程,解出切線與直線交點(diǎn),最后判斷
是否滿足不超過(guò)
米這個(gè)條件(Ⅱ)同(1)建立坐標(biāo)系,設(shè)立圓的方程:圓心為
,半徑為
,求出切線方程
,解出切線與直線交點(diǎn),根據(jù)
不超過(guò)
米這個(gè)條件列參數(shù)限制條件
,最后根據(jù)活動(dòng)中心的截面面積關(guān)系式求最值:
試題解析:解:如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)因?yàn)?/span>,
,所以半圓的圓心為
,
半徑.設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為
,
即, ...............2分
則由,
解得
或
(舍).
故太陽(yáng)光線所在直線方程為, ...............5分
令,得
米
米.
所以此時(shí)能保證上述采光要求. ...............7分
(2)設(shè)米,
米,則半圓的圓心為
,半徑為
.
方法一:設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為,
即,由
,
解得或
(舍). ...............9分
故太陽(yáng)光線所在直線方程為,
令,得
,由
,得
. ...............11分
所以
.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以當(dāng)米且
米時(shí),可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. .............16分
方法二:欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大,則影長(zhǎng)EG恰為米,則此時(shí)點(diǎn)
為
,
設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為,則
所在直線方程為y-=-(x-30),
即. ........10分
由直線與半圓H相切,得
.
而點(diǎn)H(r,h)在直線的下方,則3r+4h-100<0,
即,從而
. ...............13分
又.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
所以當(dāng)米且
米時(shí),可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. ...........16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在上海自貿(mào)區(qū)的利好刺激下,公司開拓國(guó)際市場(chǎng),基本形成了市場(chǎng)規(guī)模;自2014年1月以來(lái)的第
個(gè)月(2014年1月為第一個(gè)月)產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量(銷售總量=內(nèi)銷量+出口量)分別為
、
和
(單位:萬(wàn)件),依據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下營(yíng)銷趨勢(shì):
,
(其中
,
為常數(shù),
),已知
萬(wàn)件,
萬(wàn)件,
萬(wàn)件.
(1)求,
的值,并寫出
與
滿足的關(guān)系式;
(2)證明:逐月遞增且控制在2萬(wàn)件內(nèi);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E為棱PD中點(diǎn).
(1)求證:PD⊥平面ABE;
(2)若F為AB中點(diǎn), ,試確定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值為-
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)路燈的平面設(shè)計(jì)示意圖,其中曲線段AOB可視為拋物線的一部分,坐標(biāo)原點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸為y軸,燈桿BC可視為線段,其所在直線與曲線AOB所在的拋物線相切于點(diǎn)B.已知AB=2分米,直線軸,點(diǎn)C到直線AB的距離為8分米.燈桿BC部分的造價(jià)為10元/分米;若頂點(diǎn)O到直線AB的距離為t分米,則曲線段AOB部分的造價(jià)為
元. 設(shè)直線BC的傾斜角為,以上兩部分的總造價(jià)為S元.
(1)①求t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
②求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求總造價(jià)S的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F1 , F2分別是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 的橢圓C:
的左右焦點(diǎn),A1 , A2是橢圓C的左右頂點(diǎn),P為橢圓上異于A1 , A2的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M為線段PA2的中點(diǎn),且直線PA2與OM的斜率之積恒為﹣
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線C(2,2,0)交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與B(2,0,0)軸交于點(diǎn)N,點(diǎn)N橫坐標(biāo)的取值范圍是 ,求線段AB長(zhǎng)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在正方體
的面對(duì)角線
上運(yùn)動(dòng),則下列四個(gè)命題:
①面
;
②;
③平面平面
;
④三棱錐的體積不變.
其中正確的命題序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足
,
,
是數(shù)列
的前
項(xiàng)的和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,
,
成等差數(shù)列,
,18,
成等比數(shù)列,求正整數(shù)
的值;
(3)是否存在,使得
為數(shù)列
中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓心為的圓,滿足下列條件:圓心
位于
軸正半軸上,與直線
相切且被軸
截得的弦長(zhǎng)為
,圓
的面積小于13.
(Ⅰ)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線
與圓
交于不同的兩點(diǎn)
,以
為鄰邊作平行四邊形
.是否存在這樣的直線
,使得直線
與
恰好平行?如果存在,求出
的方程;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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