Question

已知函數(shù)f(x)=

1+lnx

x

．
（1）若函數(shù)f（x）區(qū)間(a，a+

1

3

)(a＞0)上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

（n∈N^*，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f(x)=

1+lnx

x

的極值，在探討函數(shù)在區(qū)間(a，a+

1

3

)(a＞0)上存在極值，尋找關(guān)于a的不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，把k分離出來，轉(zhuǎn)化為求k的范圍．
（3）借助于（2）的結(jié)論根據(jù)疊加法證明不等式：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

．

解答：解：1）解：函數(shù)f(x)=

1+lnx

x

的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=(

1

x

+

lnx

x

)′=-

1

x2

+

1 x •x-lnx

x2

=-

lnx

x2

．
由f′（x）=0，解得：x=1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，由f′（x）＜0，
∴f （x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f （x）在x=1處取得唯一的極值
由題意得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

，解得

2

3

＜a＜1，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

2

3

，1)．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立化為：

1+lnx

x

≥

k

x+1

，
即k≤

(x+1)(1+lnx)

x

在[1，+∞）恒成立，
令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

(x≥1)，則g′(x)=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′(x)=1-

1

x

≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h （x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)=

x-lnx

x2

=

h(x)

x2

＞0，∴g （x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）_max=g（1）=2，
因此，k≤2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，2]；
（3）證明：由（2）知，當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥

2

x+1

恒成立，
即

1+lnx

x

≥

2

x+1

，整理得：lnx≥1-

2

x-1

＞1-

2

x

令x=k（k+1），k∈N^*，則有ln[k(k+1)]＞1-2(

1

k

-

1

k+1

)
分別令k=1，2，3，…，n，則有l(wèi)n（1×2）＞1-2（1-

1

2

），ln（2×3）＞1-2（

1

2

-

1

3

），
…，ln[n（n+1）]＞1-2（

1

n

-

1

n+1

）
將這n個(gè)不等式左右兩邊分別相加，得
疊加得：ln[1×2²×3²×…n²×（n+1）]＞n-2（1-

1

n+1

）=n-2+

2

n+1

，
則1×2²×3²×…n²×（n+1）＞en-2+

2

n+1

，
所以：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值問題，有關(guān)恒成立的問題一般采取分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，證明數(shù)列不等式，借助函數(shù)的單調(diào)性或恒成立問題加以證明．屬難題．