Question

（1）求證：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ-¹ （n∈N*）
（2）設(shè)n是滿足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數(shù)，求97ⁿ除以99的余數(shù)．
（3）當(dāng)n∈N*且n＞1時(shí)，求證2＜（1+

1

n

）ⁿ＜3．

Answer 1

分析：（1）直接采用倒序相加法再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（2）先對(duì)C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ進(jìn)行整理，結(jié)合第一問的結(jié)論求出滿足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數(shù)n；再根據(jù)97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷，把問題轉(zhuǎn)化為-C₇⁷•2⁷除以99的余數(shù)即可；
（3）直接根據(jù)（1+

1

n

）ⁿ=c_n⁰+C_n¹•

1

n

+C_n²•(

1

n

)2+…+C_nⁿ•（

1

n

）ⁿ只用前兩項(xiàng)即可證明不等式的前半部分；再通過組合數(shù)的性質(zhì)對(duì)等式右邊進(jìn)行放縮即可證明右邊．

解答：證明：（1）記S=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
倒序則S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹ （2分）
∴2S=nc_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1 …（2分）
解：（2）C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
=（C_n⁰+C_n¹+…C_nⁿ）+（C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ） （1分）
=2ⁿ+n•2^n-1＜1000
由于7•2⁶+2⁷=576＜1000＜1280=8•2⁷+2⁸，
∴n=7  …（2分）
97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷
∴97ⁿ除以99的余數(shù)即為-C₇⁷•2⁷除以99的余數(shù)70  （2分）
證明：（3）∵（1+

1

n

）ⁿ=c_n⁰+C_n¹•

1

n

+C_n²•(

1

n

)2+…+C_nⁿ•（

1

n

）ⁿ＞c_n⁰+C_n¹•

1

n

=2 （1分）
∵c_n⁰+C_n¹•

1

n

+C_n²•(

1

n

)2+…+C_nⁿ•（

1

n

）ⁿ
=2+

n(n-1)

2!

•

1

n2

+…+

n(n-1)(n-1)…2×1

n!

•

1

nn

＜2+

1

2!

+…+

1

n!

（2分）
＜2+

1

1×2

+…+

1

(n-1)n

=2+（1-

1

2

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=3-

1

n

＜3 （2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中等難度題型，在處理有關(guān)二項(xiàng)式定理有關(guān)系數(shù)問題時(shí)要熟記結(jié)論以及性質(zhì)．