【答案】
分析:(Ⅰ)利用條件的到兩個關(guān)于m、n的方程,求出m、n的值,再找函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)大于0和小于0對應的區(qū)間即可.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論,分情況討論區(qū)間(a-1,a+1)和單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系再得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)圖象過點(-1,-6),得m-n=-3,①
由f(x)=x
3+mx
2+nx-2,得f′(x)=3x
2+2mx+n,
則g(x)=f′(x)+6x=3x
2+(2m+6)x+n;
而g(x)圖象關(guān)于y軸對稱,所以-
=0,所以m=-3,
代入①得n=0.
于是f′(x)=3x
2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),(2,+∞);
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0得x=0或x=2.
當x變化時,f′(x)、f(x)的變化情況如下表:
由此可得:
當0<a<1時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極大值f(O)=-2,無極小值;
當a=1時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值;
當1<a<3時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極小值f(2)=-6,無極大值;
當a≥3時,f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無極值.
綜上得:當0<a<1時,f(x)有極大值-2,無極小值,當1<a<3時,f(x)有極小值-6,無極大值;當a=1或a≥3時,f(x)無極值.
點評:本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、導數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識,考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法,考查分析問題和解決問題的能力.