(08年哈六中)已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.

(Ⅰ)求PC與平面PBD所成的角;

(Ⅱ)求點(diǎn)D到平面PAC的距離;

(Ⅲ)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E,使PC⊥平面ADE?

若存在,確定E點(diǎn)的位置,若不存在,說明理由.

(Ⅰ)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,連接PO。

∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD。

又∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC。

∵BD∩PD=D,  ∴AC⊥平面PBD。

∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角。

∵PD=AD=2,則OC=,PC=2。

在Rt△POC中,∠POC=90°,

∴PC與平面PBD所成的角為30° …………4分

(Ⅱ)過D做DF⊥PO于F,∵AC⊥平面PBD,

DF平面PBD, ∴AC⊥DF。

又∵PO∩AC=O, ∴DF⊥平面PAC。

在Rt△PDO中,∠PDO=90°,

∴PO?DF=PD?DO。

  …………8分

(Ⅲ)假設(shè)存在E點(diǎn),使PC⊥平面ADE.

過E在平面PBC內(nèi)做EM∥PC交BC于點(diǎn)M,

連接AE、AM.

由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC.    ∵PC∥EM,∴AD⊥EM.

要使PC⊥平面ADE,即使EM⊥平面ADE.    即使EM⊥AE.

設(shè)BM=,則EM=,EB=; 

在△AEB中由余弦定理得AE2=4+3-4

在Rt△ABM中,∠ABM=90°.  ∴AM2=4+.

∵EM⊥AE,∴4+=4+3-4+2.  ∴=0. ∵,∴=1.

∴E為PB的中點(diǎn),即E為PB的中點(diǎn)時(shí),PC⊥平面ADE.  …………12分

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