已知點(diǎn)B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|
PC
|•|
BC
|=|
PB
|•|
CB
|．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)（-4，4
3
）且與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡交于不同兩點(diǎn)M、N，直線OM、ON（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的傾斜角分別為α、β．求α+β的值．
分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則
PC
=（1-x，-y），
BC
=（2，0），
PB
=（-1-x，-y），
CB
=（-2，0），由|
PC
|•|
BC
|=|
PB
|•|
CB
|，知
(1-x)2+(-y)2
•2=2•(1+x)，從而得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）由于直線l過(guò)點(diǎn)（-4，4
3
 ），且與拋物線y2=4x交于兩個(gè)不同點(diǎn)，所以直線l 的斜率一定存在，且不為0．由此能推導(dǎo)出α +β=
π
6
或α+β=
7π
6
．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則
PC
=（1-x，-y），
BC
=（2，0），
PB
=（-1-x，-y），
CB
=（-2，0），
∵|
PC
|•|
BC
|=|
PB
|•|
CB
|，
∴
(1-x)2+(-y)2
•2=2•(1+x)，
化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是：y2=4x．
（Ⅱ）由于直線l過(guò)點(diǎn)（-4，4
3
 ），且與拋物線y2=4x交于兩個(gè)不同點(diǎn)，所以直線l 的斜率一定存在，且不為0.設(shè)l：y-4
3
=k(x+4)，
由
y-4
3
=k(x+4)
y2=4x
，得ky2-4y+(16k+16
3
) =0，
△=16-4k(16k+16
3
) ＞0，
∵0＜α+β＜2π．∴α +β=
π
6
或α+β=
7π
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），定義：d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|． 已知點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)M為直線x-2y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則使d（B，M）取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)B（1，0）是向量
a
的終點(diǎn)，向量
b
，
c
均以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，且
b
=（-3，-4），
c
=（1，1）與向量
a
的關(guān)系為
a
=3
b
-2
c
，求向量
a
的起點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|
PC
|•|
BC
|=
PB
•
CB
．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；
（2）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1•k2=2．求證：直線DE過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|
PC
|•|
BC
|=
PB
•
CB

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

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