Question

用長為18 m的鋼條圍成一個長方體容器的框架，如果所制的容器的長與寬之比為2∶1，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．

Answer 1

容器高為1.5 m時容器的容積最大，最大容積為3.

解析試題分析：設長方體的寬為m, 長為2x m，高為 m，由實際意義得出，長方體體積可寫出容積，對求導，知0<x<1時，V′(x)>0；當時，V′(x)<0，則在時有最大值，求之得最大容積．
解：設長方體的寬為x m，則長為2x m，高為 m,
由  解得   ，       3分
故長方體的容積為    6分
從而    V′(x)＝，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)，      8分
當0<x<1時，V′(x)>0；
當時，V′(x)<0，
故在x＝1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值，
從而最大體積為V(1)＝9×1²－6×1³ ＝ 3 ,      10分
此時容器的高為4.5－3＝1.5 m,
因此，容器高為1.5 m時容器的容積最大，最大容積為3 ．    12分
考點：利用導數求函數的最值，函數的應用.