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已知函數f（x）=x3-ax2+bx+c（a＞0）在點x=0處取得極值，并且在區(qū)間（0，2）上單調遞減，在區(qū)間（4，5）上單調遞增．
（1）求實數b的值；
（2）求實數a的取值范圍．

解：（1）f′（x）=3x2-2ax+b，
因為f（x）在點x=0處取得極值，
所以f′（0）=0，解得b=0；
經檢驗可知：b=0符合題意．
（2）令f′（x）=0，即3x2-2ax=0，解得x=0或，
∵a＞0，∴x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：
x（-∞，0）0
f′（x）+0-0+
f（x）遞增極大值遞減極小值遞增
因為函數在區(qū)間（0，2）上單調遞減，在區(qū)間（4，5）上單調遞增，
所以應有，
解得3≤a≤6．
故a的取值范圍是3≤a≤6．
分析：（1）求導數f′（x），因為f（x）在點x=0處取得極值，所以有f′（0）=0，可解得b值，注意檢驗；
（2）利用導數求出函數f（x）的單調區(qū)間，由題意得，（0，2）為減區(qū)間的子集，（4，5）為增區(qū)間的子集，由此可得不等式，解出即可．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值及單調性，準確求導，深刻理解它們間的關系是解決問題的基礎．f′（x0）=0是可導函數f（x）在x0處取得極值的必要不充分條件；若函數f（x）在（a，b）上單調，則（a，b）為相應單調區(qū)間的子集．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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