Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果a²=b（b+c），求證：A=2B．

Answer 1

分析：先利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成角的正弦，利用二倍角公式化簡(jiǎn)整理求得sin（A+B）sin（A-B）=
sinBsin（A+B），進(jìn)而推斷出sin（A-B）=sinB．求得A=2B原式得證．

解答：證明：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a²=b（b+c）中，
得sin²A=sinB（sinB+sinC）
∴sin²A-sin²B=sinBsinC
∴

1-cos2A

2

-

1-cos2B

2

=sinBsin（A+B）
∴

1

2

（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B，即A=2B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理了的應(yīng)用．研究三角形問(wèn)題一般有兩種思路．一是邊化角，二是角化邊．而正弦定理和余弦定理是完成這種轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．