Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)、的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求出曲線C的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面積；
（3）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k＞0時(shí)，恒有．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是橢圓．從而寫出其方程即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，即可求得此時(shí)|AB|的值，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出AB邊上的高，代入面積公式進(jìn)行求解；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和與積，再由A、B在橢圓上和向量模的公式代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)點(diǎn)A位置和k的范圍，判斷式子的符號(hào)進(jìn)行證明．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，
點(diǎn)P的軌跡C是以 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓，
則它的短半軸 ，
∴曲線C的方程為 ．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足 ，
消去y并整理得5x²+2x-3=0，故，
∴|AB|===，
∵點(diǎn)O（0，0）到直線l：y=x+1的距離d==，
∴△AOB的面積S=×|AB|×d==；
（Ⅲ）設(shè)設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足，
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故，
∵A（x₁，y₁）在橢圓上，∴滿足y²=4（1-x²），即y₁²=4（1-x₁²），同理y₂²=4（1-x₂²），
∴=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）
=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=．
∵A在第一象限，故x₁＞0，由 知x₂＜0，從而x₁-x₂＞0．
又∵k＞0，
∴，
即在題設(shè)條件下，恒有 ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力，難點(diǎn)在與計(jì)算量較大，平時(shí)應(yīng)加大訓(xùn)練的力度與方向性．