Question

在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，令S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

．
（Ⅰ）若{a_n}是首項(xiàng)為25，公差為2的等差數(shù)列，求S₁₀₀；
（Ⅱ）若Sn=

nP

a1 + an+1

（P為正常數(shù)）對(duì)正整數(shù)n恒成立，求證{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅲ）給定正整數(shù)k，正實(shí)數(shù)M，對(duì)于滿足a₁²+a_k+1²≤M的所有等差數(shù)列{a_n}，求T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，用好分母有理化的思想進(jìn)行相消求和；
（Ⅱ）利用等差數(shù)列的定義或者等差中項(xiàng)的辦法進(jìn)行等差數(shù)列的判定是解決本題的關(guān)鍵，尋找相鄰項(xiàng)的關(guān)系是解決該題的突破口；
（Ⅲ）將所求的和利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行等價(jià)變形是解決本題的關(guān)鍵．

解答：（Ⅰ）解：由題意，利用等差數(shù)列的公差為2，得到

1

ai + ai+1

=

ai+1 - ai

2

，
所以S100=

a101 - a1

2

=

25+2×100 - 25

2

=5．
（Ⅱ）證：令n=1得到

p

a1 + a2

=

1

a1 + a2

，則p=1．
由于S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

=Sn=

nP

a1 + an+1

（1），
S_n+1=

n+1

∑i=1

1

ai + ai+1

=

(n+1)P

a1 + an+2

（2），
（2）-（1），將p=1代入整理得

(n+1)

a1 + an+2

-

n

a1 + an+1

=

1

an+1 + an+2

，
化簡(jiǎn)得（n+1）a_n+1-na_n+2=a₁（3）
（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3=a₁（4），
（4）-（3）得a_n+1+a_n+3=2a_n+2對(duì)任意的n≥1都成立．
在（3）中令n=1得到，a₁+a₃=2a₂，從而{a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅲ）記t=a_k+1，公差為d，
則T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1=（k+1）t+

k(k+1)

2

d，則

T

k+1

=t+

kd

2

，M≥a₁²+a_k+1²=t²+（t-kd）²=

4

10

(t+

kd

2

)2+

1

10

(4t-3kd)2≥

4

10

(t+

kd

2

)2=

2

5

(

T

k+1

)2
則T≤

(k+1) 10M

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

4t=3kd M= 2 5 (t+ kd 2 )2

，即

ak+1=t=3 M 10 d= 4 k M 10

時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，屬于競(jìng)賽性質(zhì)的題目，有一定的難度，理解各式之間的聯(lián)系，善于把握式子的等價(jià)變形是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵．用到分母有理化等處理根式問(wèn)題的方法．