Question

（2012•�？谀�擬）已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足條件a_n+1=2a_n+k（k≠0），b_n=a_n+1-a_n≠0．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）若k=a₁=1，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由∵a_n+1=2a_n+k（k≠0），可得a_n=2a_n-1+k，兩式相減可得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），可證
（2）由（1）及已知可求b_n，結(jié)合已知b_n=a_n+1-a_n≠0可得an+1-an=2n，利用疊加可求a_n

解答：（1）證明：∵a_n+1=2a_n+k（k≠0），
∴a_n=2a_n-1+k
∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1）
∵b_n=a_n+1-a_n≠0．
∴b_n=2b_n-1
∴數(shù)列{b_n}是以2為公比的等比數(shù)列
（2）解：∵k=a₁=1，
∴a₂=2a₁+1=3
∴b₁=a₂-a₁=2
由（1）可得數(shù)列{b_n}是以2為公比，以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列
∴bn=2n
即an+1-an=2n
∴a₂-a₁=2
a3-a2=22
…
an-an-1=2n-1
以上n-1個(gè)式子相加可得，a_n-a₁=2+2²+2³+…+2^n-1=

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ-2
∴an=2n-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，疊加法的應(yīng)用在數(shù)列的通項(xiàng)公式中的應(yīng)用