Question

已知數(shù)列{a_n}中，（n≥2，n∈N⁺），數(shù)列{b_n}，滿足（n∈N⁺）
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由；
（3）記S_n=b₁+b₂+…+b_n，求．

Answer 1

證明：（1）∵，
而　，
∴．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．
（2）依題意有，而，
∴．
對(duì)于函數(shù)，在x＞3.5時(shí)，y＞0，y'＜0，在（3.5，+∞）上為減函數(shù)．
故當(dāng)n=4時(shí)，取最大值3
而函數(shù)在x＜3.5時(shí)，y＜0，，在（-∞，3.5）上也為減函數(shù)．
故當(dāng)n=3時(shí)，取最小值，a₃=-1．
（3），b_n=n-3.5，
∴．
分析：（1）由題意可求得，從而有，利用等差數(shù)列的定義即可證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）可求得b_n=n-3.5，從而求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而可求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)；
（3）由于數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b_n=n-3.5，利用等差數(shù)列的求和公式可求得S_n+1，從而可得，可求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限，重點(diǎn)考察等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，及求極限，屬于綜合性較強(qiáng)的難題．