(本題滿分12分) 如圖,在正方體中,E、F分別是棱的中點(diǎn).

(1)證明;

(2)求所成的角;

(3)證明:面.

方法1(坐標(biāo)法解答前兩問)

(1)證明:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,則由條件可得      (1分)

D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0),A1(2a,0,2a)

=(-2a,0,0),  =(0, a, -2a),

     ∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0,       ∴,即。                (4分)

(2)解:∵=(0, a, -2a),    

 ∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0           

∴cos<,>==0, 

,的夾角為90°,所以直線AE與D1F所成的角為直角。.(8分)

(3)證明:由(1)、(2)知D1F⊥AD,D1F⊥AE, 而AD∩AE=A,               

  ∴D1F⊥平面AED,         

  ∵D1F平面A1FD1            ∴平面AED⊥平面A1FD1.     (12分)

方法2(綜合法)

證明:因?yàn)锳C1是正方體,所以AD⊥面DC1。 

 又DF1DC1,所以AD⊥D1F.           (4分)

取AB中點(diǎn)G,連結(jié)A1G,F(xiàn)G,               

因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以GFAD,

又A1D1AD,所以GFA1D1     故四邊形GFD1A1是平行四邊形,A1G∥D1F。

設(shè)A1G與AE相交于H,則∠A1HA是AE與D1F所成的角。   

因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn),所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,從而∠A1HA=90°,

即直線AE與D1F所成的角為直角。                     (8分)

(3)與上面解法相同。

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