Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為邊作正三角形MF₁F₂，若邊MF₁的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）
A．4+2
B．-1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)雙曲線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而可求得三角形的高，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可得，進(jìn)而求得其中點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得a，b和c的關(guān)系式化簡(jiǎn)整理求得關(guān)于e的方程求得e．
解答：解：依題意可知雙曲線的焦點(diǎn)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
∴F₁F₂=2c
∴三角形高是c
M（0，c）
所以中點(diǎn)N（-，c）
代入雙曲線方程得：=1
整理得：b²c²-3a²c²=4a²b²
∵b²=c²-a²
所以c⁴-a²c²-3a²c²=4a²c²-4a⁴
整理得e⁴-8e²+4=0
求得e²=4±2
∵e＞1，
∴e=+1
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)的把握．