Question

6．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線x（a+2）-y-a+1=0恒過定點(diǎn)C，則分別求出過點(diǎn)C的且滿足下列條件的直線方程
（1）與已知直線x-2y+3=0平行；
（2）與x，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，且△AOB面積最小（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）直線可化為（x-1）a+（2x-y+1）=0，得到關(guān)于x，y的方程組，解出即可；
（2）設(shè)直線l方程為截距式：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），將點(diǎn)C坐標(biāo)代入并利用基本不等式，可得ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=4時(shí)等號(hào)成立．由此即可算出△OAB面積的最小值及相應(yīng)的直線l的方程．

解答 解：（1）：當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a+2）x-y-a+1=0恒過定點(diǎn)C，
則直線可化為（x-1）a+（2x-y+1）=0，
對(duì)于a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，
此式恒成立有 $\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
故定點(diǎn)C坐標(biāo)是（1，3）；
設(shè)與已知直線x-2y+3=0平行的直線方程是：x-2y+c=0，
將C（1，3）代入x-2y+c=0，得：c=5，
故直線方程是：x-2y+5=0；
（2）設(shè)直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），
∵直線過C（1，3），∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$=1
∵1=$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$≥2$\sqrt{\frac{3}{ab}}$=$\sqrt{\frac{12}{ab}}$，
∴ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，b=6時(shí)等號(hào)成立
此時(shí)S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≥6，即面積的最小值為6，
所求直線l的方程是$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{6}$=1，
即3x+y-6=0．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線經(jīng)過定點(diǎn)，求使直線被坐標(biāo)軸截得三角形面積最小時(shí)直線的方程．著重考查了直線的方程、基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．