Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=

n(an+1)

2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）由數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)，變形為a_n+1+1=2（a_n+1），即可證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答：（I）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴an+1=2×2n-1=2n，
∴an=2n-1．
（II）解：由（I）可知：bn=

n•2n

2

=n•2^n-1．
∴Sn=1×20+2×21+3×22+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
2S_n=1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2n=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1．
∴Sn=(n-1)•2n+1．

點(diǎn)評：本題考查了變形轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．