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（江蘇卷21④）已知實數a，b≥0，求證：a3+b3≥
ab
(a2+b2)
分析：方法一，比較法；作差--變形--判斷符號，應用實數a，b≥0，（
a
-
b
）2≥0
a

方法二，比較法；作差--變形--判斷符號，應用實數a，b≥0，當a＞b時，
a
＞
b
，(
a
)5＞(
b
)5，當a＜b時，
a
＜
b
，(
a
)5＜(
b
)5．
解答：（方法一）證明：a3+b3-
ab
（a2+b2）=a2
a
（
a
-
b
）+b2
b
（
b
-
a
）
=（
a
-
b
）[（(
a
)5-(
b
)5]①
=(
a
-
b
)2[(
a
)4+(
a
)3（
b
）+(
a
)2
b
2）+
a
(
b
)3+(
b
)4]
因為實數a、b≥0，(
a
-
b
)2≥0，
[(
a
)4+(
a
)3（
b
）+(
a
)2
b
2）+
a
(
b
)3+(
b
)4]≥0
所以，上式①≥0．
即有：a3+b3≥
ab
(a2+b2)．
（方法二）證明：由a、b是非負實數，作差得明：
a3+b3-
ab
（a2+b2）=a2
a
（
a
-
b
）+b2
b
（
b
-
a
）
=（
a
-
b
）[（(
a
)5-(
b
)5]①
當a＞b時，
a
＞
b
，從而(
a
)5-(
b
)5＞0，得 （
a
-
b
）[（(
a
)5-(
b
)5]≥0；
當 當a＜b時，
a
＜
b
，從而(
a
)5-(
b
)5＜0，得（
a
-
b
）[（(
a
)5-(
b
)5]≥0；
所以，a3+b3≥
ab
(a2+b2)．
點評：本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力
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