Question

【題目】已知拋物線與二次曲線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由下面的草圖可以看出，下面三個(gè)結(jié)論是成立的，請(qǐng)給出證明.

（1）.兩曲線的4個(gè)交點(diǎn)中，至少有兩個(gè)交點(diǎn)位于軸的下方；

（2）.拋物線必與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，記為，，；

（3）.兩曲線的4個(gè)交點(diǎn)中，必存在一點(diǎn)，使.

注.對(duì)、、的不同取值會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)圖形，此處僅就，各給出一個(gè)示意圖，同時(shí)也就限制“由圖看出”的解答.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析

【解析】

（1）.聯(lián)立方程組

.

消去，得

解得，.

則兩曲線的4個(gè)交點(diǎn)中，至少有兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)（是小于0的，并且也有可能小于0），這兩點(diǎn)位于軸的下方.

（2）由上證知，四個(gè)交點(diǎn)中有縱坐標(biāo)為的，取其中一個(gè)為，代入拋物線方程得. ①

兩邊乘以后，配方得

.

則.

這表明，二次方程

②

的判別式大于0，從而有兩個(gè)不相等的實(shí)根，記為， ，得拋物線與軸交于兩點(diǎn)，.

（3）由、是方程②的兩個(gè)根知

. ③

又由①有.

把③代入，得，即.