Question

已知函數(shù)
（I）求函數(shù)g（x）的單調遞增區(qū)間；
（II）若a＞0且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出，由參數(shù)a的符號不確定故需要分它的符號為正與為負兩種情況討論函數(shù)的單調增區(qū)間；
（II）求出兩個函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有公共點，且在該點處的切線相同，故在切點處的導數(shù)相等，函數(shù)值相等，由此兩等量關系建立方程尋求問題的求解．
解答：解：（I）
（1）當的單調遞增區(qū)間為
（2）當a＜0時，g'（x）＞0恒成立，故g（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）
（II）設函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有公共點（x，y）
又
由題意：
由②得x=a（其中x=-3a舍去）
代入到①中得b=

考慮到
所以，上單調遞減，
故
取得最大值．…（8分）
點評：題利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，解題的關鍵是理解并掌握函數(shù)的導數(shù)的符號與函數(shù)的單調性的關系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導數(shù)符號得出單調性，一類是由單調性得出導數(shù)的符號，本題屬于第一類，本題中第二小題考查了導數(shù)的幾何意義，由于此題是一個存在性問題，首先由題設條件尋求兩個參數(shù)的函數(shù)關系，再由導數(shù)研究b最大值，解題方向多次轉換，思維量較大，運算較繁瑣，題目難度較大．