Question

如圖①所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC的中點(diǎn),E為BD的中點(diǎn),AE的延長線交BC于點(diǎn)F,將△ABD沿BD折起,二面角ABDC的大小記為θ,如圖②所示.

(1)求證:平面AEF⊥平面BCD;

(2)當(dāng)cos θ為何值時,AB⊥CD.

Answer 1

 (1)證明:在題圖①中,∵D為Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn),∠ACB=30°,∴AD=AB.

又E為BD的中點(diǎn),∴BD⊥AE,BD⊥EF.

在題圖②中,BD⊥AE,BD⊥EF,AE∩EF=E,

∴BD⊥平面AEF.

又BD⊂平面BCD,∴平面AEF⊥平面BCD.

(2)解:過A作AO⊥EF,交EF的延長線于點(diǎn)O,連接BO交CD的延長線于點(diǎn)G.

由(1)知平面AEF⊥平面BCD,

∴AO⊥平面BCD,

∴BO即為AB在平面BCD上的射影.

要使AB⊥CD,只需BG⊥CD.

∴∠AEF=θ,∠AEO=180-θ.

△A′BD為正三角形,且BG⊥CD.

因此,G為A′D的中點(diǎn),即O為△A′BD的重心.

∴cos ∠AEO==,即cos(180°-θ)=,

∴當(dāng)cos θ=-時,AB⊥CD.