平面向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，若存在不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)k和t，使
x
=
a
+(t2-3)
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，試確定函數(shù)k=f（t）的單調(diào)區(qū)間．
分析：利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)可得 
x
•
y
=[
a
+(t2-3)
b
]•(-k
a
+t
b
)=0，化簡求得 k=
1
4
（t3-3t ），
故 f（t）=
1
4
（t3-3t ），利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（t） 的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：由
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)得，
a
•
b
=0，|
a
|=2，|
b
|=1．
再由
x
⊥
y
可得 
x
•
y
=[
a
+(t2-3)
b
]•(-k
a
+t
b
)=0，
即-k
a2
+t
a
•
b
-k(t2-3)
a
•
b
+t(t2-3)
b2
=0．
故有-4k+t3-3t=0，k=
1
4
（t3-3t ），故 f（t）=
1
4
（t3-3t ）．
 由 f′（t）=
3
4
t2-
3
4
＞0，解得 t＜-1，或 t＞1．
令f′（t）=
3
4
t2-
3
4
＜0，解得-1＜t＜1．
所以f（t）的增區(qū)間為（-∞，-1）、（1，+∞）；減區(qū)間為（-1，1）．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)
c 
=
a 
+(x-3)
b 
，
d 
=-y
a 
+x
b 
（其中x≠0），若
c 
⊥
d 
，試求函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），并解不等式f（x）＞7．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)．若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使
x
=
a
+(t2-3)
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
．
（1）試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）
（2）求使f（t）＞0的t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，
（1）證明：
a
⊥
b
；
（2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和g，使
x
=
a
+（g2-3）
b
，
y
=-k
a
+g
b
，且
x
⊥
y
，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（g）；
（3）椐（2）的結(jié)論，討論關(guān)于g的方程f（g）-k=0的解的情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平面向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)，若存在實(shí)數(shù)m（m≠0）和角θ，其中θ∈(-
π
2
，
π
2
)，使向量
c
=
a
+(tan2θ-3)
b
，
d
=-m
a
+
b
•tanθ，且
c
⊥
d
．
（1）求m=f（θ）的關(guān)系式；
（2）若θ∈[-
π
6
，
π
3
]，求f（θ）的最小值，并求出此時(shí)的θ值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
a
={3，y}，
b
={x，-3}，且
a
+
b
={1，1}，則x、y的值分別為…（　�。�

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