Question

在△ABC中，角A＜B是sinA＜sinB的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分又不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：先看由角A＜B能否得到sinA＜sinB：討論A，B∈(0，

π

2

]和A∈(0，

π

2

)，B∈(

π

2

，π)兩種情況，并結(jié)合y=sinx在（0，

π

2

]單調(diào)性及0＜A+B＜π即可得到sinA＜sinB；然后看由sinA＜sinB能否得到A＜B：根據(jù)上一步的討論方法以及y=sinx的單調(diào)性即可得到sinA＜sinB，所以得到角A＜B是sinA＜sinB的充要條件．

解答： 解：（1）△ABC中，角A＜B：
若0＜A＜B≤

π

2

，根據(jù)y=sinx在（0，

π

2

]上單調(diào)遞增得到sinA＜sinB；
若0＜A＜

π

2

，

π

2

＜B＜π，∵0＜A+B＜π，∴0＜A＜π-B＜

π

2

，所以sinA＜sin（π-B）=sinB；
∴角A＜B能得到sinA＜sinB；
即A＜B能得到sinA＜sinB；
∴角A＜B是sinA＜sinB的充分條件；
（2）若sinA＜sinB：
A，B∈（0，

π

2

]時，y=sinx在(0，

π

2

]上單調(diào)遞增，所以由sinA＜sinB，得到A＜B；
A∈(0，

π

2

)，B∈(

π

2

，π)時，顯然滿足A＜B；
即sinA＜sinB能得到A＜B；
∴A＜B是sinA＜sinB的必要條件；
綜合（1）（2）得角A＜B，是sinA＜sinB的充要條件．
故選C．

點評：考查充分條件、必要條件、充要條件的概念，以及正弦函數(shù)y=sinx在(0，

π

2

]上的單調(diào)性，通過y=sinx在（0，π）的圖象看函數(shù)的取值情況，及條件0＜A+B＜π．