設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．

(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)討論g(x)與g的大小關(guān)系；

(3)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得g(a)－g(x)<對(duì)任意x>0成立．


解　(1)由題意，得g(x)＝ln x＋，x>0，

所以g′(x)＝，且x>0，

令g′(x)＝0，得x＝1，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0，

故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間，

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0.

故(1，＋∞)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間，

因此，x＝1是g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)．所以最小值為g(1)＝1.

(2)由(1)知＝－ln x＋x，

(3)由(1)知，g(x)的最小值為g(1)＝1，

所以g(a)－g(x)<對(duì)∀x>0成立⇔g(a)－1<.

則ln a＋－1<，即ln a<1，

所以0<a<e.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，e)．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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若關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)銳角三角形，則k的取值范圍是_______.

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如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，的值是________．

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已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．

(1)設(shè)bn＝an＋1＋λan，是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由；

(2)在(1)的條件下，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

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已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，，則的值為________．

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下列關(guān)于函數(shù)f(x)＝(2x－x2)·ex的判斷正確的是(　　)

①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；

②f(－)是極小值，f()是極大值；

③f(x)沒有最小值，也沒有最大值．

A．①③  B．①②③  C．②  D．①②

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已知函數(shù)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直線x＝x1，x＝x2是y＝f(x)圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且|x1－x2|的最小值為.

(1)求f(x)的表達(dá)式；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)＋k＝0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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集合，

，若，則的值為    

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已知，則 的值是.

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