Question

【題目】一吊燈下沿圓環(huán)直徑為米，通過(guò)拉鏈、、、（、、是圓上三等份點(diǎn)）懸掛在處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2米，如圖所示.

（1）為使拉鏈總長(zhǎng)最短，應(yīng)多長(zhǎng)？

（2）為美觀與安全，在圓環(huán)上設(shè)置，，……，（）各等分點(diǎn)，仍按上面方法連接．若還要求拉鏈總長(zhǎng)度最短，對(duì)比（1）時(shí)C點(diǎn)位置，此時(shí)C點(diǎn)將會(huì)上移還是會(huì)下移?請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的位置將下移.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)離天花板米（），拉鏈總長(zhǎng)度為米,利用所給圖,得到,其導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求出取何值時(shí),最小；（2）當(dāng)在圓環(huán)上設(shè)置個(gè)點(diǎn)時(shí),拉鏈的總長(zhǎng)為,同樣利用導(dǎo)數(shù)求出取何值時(shí),最小.并與（1）中值比較,可知點(diǎn)的位置移動(dòng)情況.

試題解析：

（1）設(shè)離天花板米（），拉鏈總長(zhǎng)度為米，由題意、、、四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三棱錐，、、為該三棱錐的三條棱側(cè)，三棱錐的高

.于是有，對(duì)其求導(dǎo)，得.

當(dāng)時(shí)，，解得時(shí)，，

時(shí)，，時(shí)，即米時(shí)，取最小值米.

（2）由（1）可知，當(dāng)在圓環(huán)上設(shè)置個(gè)點(diǎn)時(shí)，拉鏈的總長(zhǎng)為：，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，.解之得，因?yàn)?/span>只有一個(gè)極值，所以時(shí)，拉鏈長(zhǎng)最短.下面比較與的大小（其中），即，亦即得，所以點(diǎn)的位置將下移.