Question

△ABC的外接圓的直徑為1，三個內角A、B、C的對邊為a、b、c，，，已知．
（1）求sinA+sinB的取值范圍；
（2）若abx=a+b，試確定實數x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，∴，∴acosA-bcosB=0．
由正弦定理知，，∴a=sinA，b=sinB．
∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．
∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π．
∴A=B，．，，
∴．
∴sinA+sinB的取值范圍為．
（2）∵abx=a+b，∴sinA•sinB•x=sinA+sinB
∴．
令，
∴．
∵在單調遞增，∴，
∴，故x的取值范圍為．
分析：（1）通過推出acosA-bcosB=0，結合正弦定理化簡此式，推出A，B的關系，然后求sinA+sinB的取值范圍；
（2）利用abx=a+b，結合正弦定理，推出x的表達式，利用換元法，結合函數的單調性，試確定實數x的取值范圍．
點評：本題是中檔題，考查正弦定理的應用，三角函數的最值，注意換元法的應用，函數的單調性是求最值的一種方法，考查計算能力，轉化思想．