【題目】已知圓C的圓心在x軸正半軸上,半徑為5,且與直線相切.

(1)求圓C的方程;

(2)設點,過點作直線與圓C交于兩點,若,求直線的方程;

(3)設P是直線上的點,過P點作圓C的切線,切點為求證:經過 三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標.

【答案】(1) (2) ;(3) 見證明

【解析】

1)設圓心,由直線和圓相切可得:,利用點到直線距離公式即可求得,問題得解。

2)若直線的斜率不存在,即,檢驗得:成立,若直線的斜率存在,可設直線,由圓的弦長計算公式可得:,即可求得,問題得解。

3)設,由題可得:經過,的三點的圓是以為直徑的圓,即可求得該圓的方程為:,列方程即可求得定點的坐標為,問題得解。

(1)解:設圓心,圓心到直線的距離為

則由直線和圓相切可得:,

可得,解得(負值舍去),

即圓的方程為

(2)解:若直線的斜率不存在,即

代入圓的方程可得,,即有,成立;

若直線的斜率存在,可設直線

即為,

到直線的距離為

,即有,

解得,即,解得,則直線的方程為

所以的方程為;

(3)證明:由于是直線上的點,

,

由切線的性質可得,

經過,,的三點的圓是以為直徑的圓,

則方程為,

整理可得,

,且.

解得.

則有經過,,三點的圓必過定點,所有定點的坐標為.

練習冊系列答案
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