Question

某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1）該小組已經(jīng)測(cè)得一組α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；
（2）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精確度．若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，α-β最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根據(jù)AD-AB=DB即可得到H．
（2）先用d分別表示出tanα和tanβ，再根據(jù)兩角和公式，求得tan（α-β）=，再根據(jù)均值不等式可知當(dāng)d===55時(shí)，tan（α-β）有最大值即α-β有最大值，得到答案．
解答：解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．
AD-AB=DB，故得-=，
得：H===124．
因此，算出的電視塔的高度H是124m．
（2）由題設(shè)知d=AB，得tanα=，tanβ===，
tan（α-β）====
d+≥2，（當(dāng)且僅當(dāng)d===55時(shí)，取等號(hào)）
故當(dāng)d=55時(shí)，tan（α-β）最大．
因?yàn)?＜β＜α＜，則0＜α-β＜，所以當(dāng)d=55時(shí)，α-β最大．
故所求的d是55m．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時(shí)，可考慮用不等式的性質(zhì)來解決．