Question

5．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)），M為曲線C上任一點，過點M作x軸的垂線段MN，垂足為N，MN中點P的軌跡方程為C′．
（1）求曲線C′的參數(shù)方程；
（2）已知曲線C′上的兩點$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$（θ∈[0，π]），求△AOB面積的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程，結(jié)合P是MN的中點，求出點P的軌跡方程，即曲線C′的參數(shù)方程；
（2）根據(jù)曲線C′的參數(shù)方程得出C'是橢圓，且橢圓C′的兩點A、B與O組成Rt△，
利用極坐標(biāo)的意義求出△AOB面積的表達(dá)式，再利用基本不等式求出面積的最大值與對應(yīng)的θ值．

解答 解：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為P（x，y），點M的坐標(biāo)為M（x′，y′），
∵M為曲線C上任一點，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=2cosθ}\\{{y}^{′}=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）；
又P是MN的中點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x{=x}^{′}}\\{y={\frac{1}{2}y}^{′}}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$；
∴曲線C′的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$；
（2）∵曲線C′的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$；
∴曲線C'是橢圓，
∵橢圓C′的兩點$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$（θ∈[0，π]），
∴A（2cosθ，sinθ），B（2cos（$\frac{π}{2}$+θ），sin（$\frac{π}{2}$+θ））；
如圖所示，
∴△AOB面積
S=$\frac{1}{2}$ρ₁•ρ₂
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}{{+y}_{2}}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（2cosθ）}^{2}{+sin}^{2}θ}$•$\sqrt{{（2cos（\frac{π}{2}+θ））}^{2}{+（sin（\frac{π}{2}+θ））}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{3cos}^{2}θ+1）（{3sin}^{2}θ+1）}$≤$\frac{1}{4}$•[（3cos²θ+1）+（3sin²θ+1）]=$\frac{5}{4}$
當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=±cosθ，即θ=kπ±$\frac{π}{4}$，k∈Z時，取得最大值$\frac{5}{4}$；
∴△AOB的面積最大值為$\frac{5}{4}$，并且對應(yīng)θ的值為kπ±$\frac{π}{4}$，k∈Z．

點評 本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題以及同角的三角函數(shù)的計算問題，是綜合性題目．