Question

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且對任意的,都有.

（1）若{bn }的首項(xiàng)為4,公比為2,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn;

（2）若 ，試探究:數(shù)列{bn}中是否存在某一項(xiàng),它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在,請求出該項(xiàng)；若不存在,請說明理由．

 

Answer 1

（1） ；（2）不存在.

【解析】

試題分析：對任意的,都有.

所以( )兩式相減可求

（1）由于等比數(shù){bn }的首項(xiàng)為4,公比為2,可知 ,于是可求得 ,

再將數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和拆分為等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和與等比數(shù)列的前 項(xiàng)和之和.

（2）由, 假設(shè)存在一項(xiàng) ,可表示為

一方面, ,另一方面,

兩者相矛盾K值不存在.

試題解析：

解:（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719013587651132/SYS201411171901436737698102_DA/SYS201411171901436737698102_DA.024.png">,所以當(dāng)時,

,

兩式相減,得,

而當(dāng)n=1時,,適合上式,從而,3分

又因?yàn)閧bn}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,即,所以，4分

從而數(shù)列{an+bn}的前項(xiàng)和；6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719013587651132/SYS201411171901436737698102_DA/SYS201411171901436737698102_DA.034.png">，,所以，. 8分

假設(shè)數(shù)列{bn}中第k項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和,即,從而,易知 ,(*) 9分

又,

所以,此與(*)矛盾,從而這樣的項(xiàng)不存在． 12分

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 項(xiàng)和公式；2、拆項(xiàng)求和.