Question

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是（1+x）ⁿ二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和（n=1，2，3，…）．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)及其前n項(xiàng)和Tn．
（3）求證：T_n•T_n+2＜T_n+1²．

Answer 1

【答案】分析：（1）能利用a_n與S_n之間的關(guān)系得到a_n的通項(xiàng)公式．
（2）會(huì)根據(jù)遞推公式求出b_n的通項(xiàng)公式，并根據(jù)b_n與c_n關(guān)系求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和．
（3）兩式作差后根據(jù)其特點(diǎn)利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：（1）由題意S_n=2ⁿ，S_n-1=2^n-1（n≥2），
兩式相減得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．
當(dāng)n=1時(shí)，2×1-1=1≠S₁=a₁=2
∴．
（2）∵b_n+1=b_n+（2n-1），∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，
b_n-b_n-1=2n-3．以上各式相加得：
b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）=
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n
∴．
∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-2）2^n-1
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）2ⁿ．
∴-T_n=2+2²+2³++2^n-1-（n-2）2ⁿ=
∴T_n=-2ⁿ+2+（n-2）2ⁿ=2+（n-3）2ⁿ．
∴T_n=2+（n-3）2ⁿ．當(dāng)n=1時(shí)T1=-2也適合上式．
∴T_n=2+（n-3）2ⁿ
（3）證明：T_n•T_n+2-T_n+1²=[2+（n-3）•2ⁿ]•[2+（n-1）•2ⁿ⁺²]-[2+（n-2）•2ⁿ⁺¹]²
=4+（n-1）•2ⁿ⁺³+（n-3）•2ⁿ⁺¹+（n-1）（n-3）•2²ⁿ⁺²-[4+（n+2）（n+2）•2²ⁿ⁺²+（n-2）•2ⁿ⁺³]
=2ⁿ⁺¹[（n+1）-2ⁿ⁺¹]
∵2ⁿ⁺¹＞0，∴需證明n+1＜2ⁿ⁺¹，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，1+1＜2¹⁺¹成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立即k+1＜2^k+1，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1）+1＜2^k+1+1＜2^k+1+2^k+1=2•2^k+1=2^（k+1）+1成立．
由①、②可得，對(duì)于n∈N*都有n+1＜2ⁿ⁺¹成立．
∴2ⁿ⁺¹[（n+1）-2ⁿ⁺¹]＜0
∴T_n•T_n+2＜T_n+1²
點(diǎn)評(píng)：能利用a_n與S_n之間的關(guān)系得到a_n的通項(xiàng)公式，會(huì)根據(jù)遞推公式求出b_n的通項(xiàng)公式，并根據(jù)b_n與c_n關(guān)系求c_n的通項(xiàng)公式．也要會(huì)應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和及會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明．