Question

（2008•湖北模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是矩形，且AD=

2

AB，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E為AD的中點，F(xiàn)為PC的中點．
（1）求證：EF為AD及PC的公垂線
（2）求二面角的大小F-EB-C．

Answer 1

分析：（1）分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，進而證明

AD

•

EF

=0，

PC

•

EF

=0，故得證；
（2）先求兩半平面的法向量利用數(shù)量積公式可求二面角F-EB-C的平面角

解答：解（1）：證明：設AB=1，則AD=

2

，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則
A（0，0，0）、B（0，1，0）、C(

2

，1，0)、D(

2

，0，0)、E(

2

2

，0，0)、P（0，0，1）、F(

2

2

，

1

2

，

1

2

)、

AD

=(

2

，0，0)、

PC

=(

2

，1，-1)、

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)
∴

AD

•

EF

=0，

PC

•

EF

=-

1

2

+

1

2

 =0
∴AD⊥EF，PC⊥EF
故PC為AD及EF的公垂線                            （6分）
（2）∵

EB

=(-

2

2

，1，0)，

PC

•

EB

=-1+1+0=0，
∴PC⊥平面EFB
故

PC

可看成平面EFB的法向量
∵

n

=(0，0，1)可看成平面ABCD的法向量
設二面角F-EB-C的平面角為β，∴cosβ=|

-1

1×2

|=

1

2

故二面角F-EB-C的平面角為60⁰（12分）

點評：本題以四棱錐為載體，考查線線垂直，考查面面角，關鍵是構建空間直角坐標系，用坐標表示向量，從而利用公式．