Question

已知cosα=

1

7

，cos(α-β)=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

（Ⅰ） 求

cos(π+2α)tan(π-2α)sin( π 2 -2α)

cos( π 2 +2α)

的值；
（Ⅱ）求角β．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把所求式子的分母利用cos（

π

2

+α）=-sinα誘導公式化簡，分子第一個因式利用cos（π+α）=-cosα，第二個因式利用tan（π-α）=-tanα化簡，第三個因式利用sin（

π

2

-α）=cosα，利用同角三角函數(shù)間的基本關系變形，約分后再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，把cosα的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由cosα的值，根據(jù)α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinα的值，由α和β的范圍，求出α-β的范圍，由cos（α-β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cos（α-β）的值，然后把所求的角β變形為α-（α-β），利用兩角差的余弦函數(shù)公式表示出cos[α-（α-β）]即cosβ，把各自的值代入即可求出cosβ的值，根據(jù)β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出β的度數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵cosα=

1

7

，
∴

cos(π+2α)tan(π-2α)sin( π 2 -2α)

cos( π 2 +2α)

=

(-cos2α)(-tan2α)cos2α

-sin2α

=-cos2α=1-2cos²α=

47

49

；

（Ⅱ）由cosα=

1

7

，cos(α-β)=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，
得到sinα=

1-cos2α

=

4 3

7

，α-β∈（0，

π

2

）則sin（α-β）=

3 3

14

，
所以cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

49

98

=

1

2

，
則β=

π

3

．

點評：此題綜合考查了誘導公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵，同時在求值時注意角度的范圍，以及角β=α-（α-β）的靈活變換．