Question

11．在△ABC，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bcosA=3acosB，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則A=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡已知可得tanB=3tanA，可得：A，B均為銳角，由cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得tanC，利用兩角和的正切函數(shù)公式可得：3tan²A-2tanA-1=0，即可解得tanA=1，從而得解．

解答 解：∵bcosA=3acosB，
∴由正弦定理可得：sinBcosA=3sinAcosB，可得：tanB=3tanA，
∴可得：A，B均為銳角，
∵cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得：tanC=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}C}-1}$=2，
∵tanC=-tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$，
∴2=$\frac{4tanA}{3ta{n}^{2}A-1}$，整理可得：3tan²A-2tanA-1=0．
∴解得：tanA=1，或-$\frac{1}{3}$（舍去）．
∴A=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正切函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程的解法，綜合性較強，屬于中檔題．