Question

設函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx-cosxsin(

π

2

+x)-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導公式化簡sin(

π

2

+x)，再用二倍角公式化簡

3

2

sinxcosx-cos2x，得到

3

2

sin2x-

1

2

cos2x，化為sin(2x-

π

6

)-1求出周期．
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求出2x-

π

6

的范圍，然后求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答：解：f(x)=

3

sinxcosx-cosxsin(

π

2

+x)-

1

2

=

3

2

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1．（6分）
（Ⅰ）T=

2π

2

=π，故f（x）的最小正周期為π．（7分）
（Ⅱ）因為0≤x≤

π

2

，
所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．（9分）
所以當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）有最大值0，（11分）
當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，f（x）有最小值-

3

2

．（13分）

點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的最值，考查計算能力，是基礎題．