Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x，其中a∈R，a≠0．
（Ⅰ）若（1，f（1））是f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象上任意一點處切線的斜率k≥-1恒成立，求實數(shù)a的最大值；
（Ⅲ）試著討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由極值的定義求出a的值，即導函數(shù)在x=1處的值為0；
（Ⅱ）由導數(shù)的幾何意義得出不等式，從而求出a的最大值；
（Ⅲ）二次函數(shù)根的討論問題，分a＞0，a＜0情況進行討論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知有f′(x)=

1

x

-ax-2，
∵（1，f（1））是f（x）的一個極值點，
∴f'（1）=1-a-2=0，
解得a=-1．
（Ⅱ）由題意知x＞0，且f′(x)=

1

x

-ax-2≥-1恒成立，即a≤

1

x2

-

1

x

．
令g（x）=

1

x2

-

1

x

，于是g′(x)=

-2

x3

+

1

x2

=

x-2

x3

，
∴當x≥2時，g'（x）≥0，即g（x）是[2，+∞）上的增函數(shù)，
當0＜x＜2時，g'（x）＜0，即g（x）是（0，2）上的減函數(shù)，
∴當x=2時，g（x）取最小值g（2）=-

1

4

，
∴a≤-

1

4

，即a的最大值為-

1

4

（Ⅲ）∵f′(x)=

1

x

-ax+2=

-ax2-2x+1

x

，
設φ（x）=-ax²-2x+1（x＞0，a≠0），
①當a＞0時，φ（x）對稱軸為x=-

1

a

＜0，過點（0，1）開口向下，有一個正根x=

a+1 -1

a

，
則f（x）在(0 ，  

a+1 -1

a

)上是增函數(shù)，在(

a+1 -1

a

 ，  +∞)上是減函數(shù)．
當a＜0時，φ（x）對稱軸為x=-

1

a

＞0，過點（0，1）開口向上，
i）若a≤-1，f'（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
ii）若-1＜a＜0，當x∈(0 ，  

a+1 -1

a

)時，f'（x）≥0；當x∈(

a+1 -1

a

 ，  

- a+1 -1

a

)時，f'（x）≤0；
當x∈(

- a+1 -1

a

 ，  +∞)時，f'（x）≥0；
∴f（x）在(0 ，  

a+1 -1

a

)上是增函數(shù)，在(

a+1 -1

a

 ，  

- a+1 -1

a

)上是減函數(shù)，在(

- a+1 -1

a

 ，  +∞)上是增函數(shù)．
∴綜上所述，①當a≤-1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當-1＜a＜0時，f（x）在(0 ，  

a+1 -1

a

)上是增函數(shù)，在(

a+1 -1

a

 ，  

- a+1 -1

a

)上是減函數(shù)，在(

- a+1 -1

a

 ，  +∞)上是增函數(shù)；
③當a＞0時，f（x）在(0 ，  

a+1 -1

a

)上是增函數(shù)，在(

a+1 -1

a

 ，  +∞)上是減函數(shù)．

點評：這是一道導函數(shù)的綜合性問題，考查了導數(shù)的幾何意義、極值、單調(diào)區(qū)間．這是一道常規(guī)題，也是易錯題，特別是對二次函數(shù)的討論，更容易出錯．