Question

某公司有價(jià)值a萬元的一條生產(chǎn)流水線，要提高該生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)能力，就要對其進(jìn)行技術(shù)改造，改造就需要投入資金，相應(yīng)就要提高生產(chǎn)產(chǎn)品的售價(jià)．假設(shè)售價(jià)y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
①y與a-x和x的乘積成正比；②x=

a

2

時(shí)y=a²；
③0≤

x

2(a-x)

≤t其中t為常數(shù)，且t∈[0，1]．
（1）設(shè)y=f（x），試求出f（x）的表達(dá)式，并求出y=f（x）的定義域；
（2）求出售價(jià)y的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入的x的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）的表達(dá)式好列，再求函數(shù)的定義域時(shí)，要注意條件③的限制性．
（2）本題為含參數(shù)的二次函數(shù)在特定區(qū)間上求最值，結(jié)合二次函數(shù)的圖象及單調(diào)性解決，注意分類討論．

解答：解：（1）設(shè)y=k(a-x)x，當(dāng)x=

a

2

時(shí)y=a2，可得k=4，∴y=4（a-x）x∴定義域?yàn)?span id="ogy9dgm" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[0，

2at

1+2t

]，t為常數(shù)，t∈[0，1]
（2）y=4(a-x)x=-4(x-

a

2

)2+a2
當(dāng)

2at

1+2t

≥

a

2

時(shí)，即

1

2

≤t≤1，x=

a

2

時(shí)，ymax=a2
當(dāng)

2at

1+2t

＜

a

2

時(shí)，即0≤t＜

1

2

時(shí)，y=4（a-x）在[0，

2at

1+2t

]上為增函數(shù)，
則當(dāng)x=

2at

1+2t

時(shí)，ymax=

8at2

(1+2t)2

從而當(dāng)

1

2

≤t≤1時(shí)，投入x=

a

2

時(shí)，售價(jià)y最大為a²萬元；
當(dāng)0≤t＜

1

2

時(shí)，投入x=

2at

1+2t

時(shí)，售價(jià)y最大為

8at2

(1+2t)2

萬元．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的應(yīng)用問題，函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值及分類討論思想，牽扯字母太多，容易出錯(cuò)．